Tema3.Divisibilidad

1. Múltiplos y divisores. Primos y compuestos
2. Criterios de divisibilidad.
3. Descomposición en factores primos.
4. Máximo común divisor.

EJEMPLO: Calcular el MCD entre 120 y 144


Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos
(¿qué son los números primos?):


120 | 2             144 | 2
 60 | 2              72 | 2
 30 | 2              36 | 2
 15 | 3              18 | 2
  5 | 5               9 | 3
  1 | 1               3 | 3
                      1 | 1          ¿Cómo se descomponen los números? 


120 = 2³.3.5                        144 = 2⁴.3²

Que es lo mismo que:             Que es lo mismo que:        

120 = 2.2.2.3.5                     144 = 2.2.2.2.3.3

Luego, el MCD se calcula multiplicando todos los "factores" que tienen en "común" ambos números (el 2 y el 3 en este caso), con el menor exponente con que aparecen en alguno de los números ("¿menor exponente?").

Los "factores" son los números que están en la columna derecha de la descomposición: 2, 3, 5 y 1. Y para calcular el MCD hay que tomar solamente los que están en los dos números ("repetidos" les dicen algunos), aquí remarcados en color rojo.
Como el número 2 está tres veces en el 120, y cuatro veces en el 144, lo pongo elevado a la tercera (porque es la menor cantidad de veces que aparece, o "menor exponente"). Como el 3 está en ambos números, pero una sola vez en el 120 y dos veces en el 144, lo pongo elevado a la uno (o sin elevar), porque es la menor cantidad de veces que aparece. Para más detalle, consultar en la EXPLICACIÓN.


MCD = 2³.3 = 8.3 = 24 




5. Mínimo común múltiplo.
EJEMPLO: Calcular el MCM entre 24 y 45 


Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos
(¿qué son los números primos?):


24 | 2             45 | 3
12 | 2             15 | 3
 6 | 2              5 | 5
 3 | 3              1 | 1
 1 | 1                                         ¿Cómo se descomponen los números? 


24 = 2³.3                          45 = 3².5


Luego, el MCM se calcula multiplicando todos los "factores" (comunes y no comunes) que aparecen en la descomposición de los números, con el mayor exponente con que aparecen (¿comunes y no comunes?) (¿mayor exponente?).

Los "factores" son los distintos números que aparecen en la columna derecha de la descomposición: 2, 3 y 5 en este ejemplo (el 1 no se toma en cuenta). Podemos decir que la cantidad de veces que aparece el factor en la descomposición de un número es igual a su "exponente". Por ejemplo, ponemos que:

24 = 2³.3  

Porque el 2 aparece 3 veces en la columna derecha, y el 3 aparece una sola vez. El exponente para 2 es 3, y el exponente para 3 es 1 (3¹ = 3, entonces el 1 no se pone).

45 = 3².5

Porque el 3 aparece 2 veces, y el 5 aparece una sola vez.

Entonces, para calcular el m.c.m., hay que mirar cada factor, en los dos números, a ver dónde aparece en mayor cantidad (o mayor exponente), y cuál esa cantidad:

El factor 2: Aparece en el 24, y está 3 veces (o elevado a la 3). No aparece en el 45. Así que la mayor cantidad de veces que aparece (o mayor exponente) es 3. En el m.c.m. hay que poner el 2 elevado a la 3 (2³).

El factor 3: Aparece en el 24, y está 1 vez (o elevado a la 1, o sin elevar). Aparece 2 veces (o elevado a la 2) en el 45. La mayor cantidad de veces es 2. En el m.c.m hay que poner el 3 elevado a la 2 (3²).

El factor 5: No aparece en el 24. Y aparece 1 vez en el 45 (o elevado a la 1, o sin elevar). En el m.c.m. hay que poner el 5 sin elevar (que es como si estuviera elevado a la 1).


MCM = 2³.3².5 = 8.9.5 = 360 

Ejercicios propuestos